Matemática Básica

CODIGO: 1- 03
ASIGNATURA : MATEMATICA BÁSICA
INTENSIDAD : 45 HORAS
CRÉDITOS SEMANA : 4
VIGENCIA :
PROFESOR :
PRE- REQUISITOS:

OBJETIVO GENERAL

Este es un curso introductorio a las matemáticas universitarias, que pretende brindar a los estudiantes los elementos básicos del área tales como la representación matemática, la teoría de los números, los espacios euclidianos; con el ánimo además de agudizar la capacidad de análisis de los alumnos.

METODOLOGIA DE APRENDIZAJE

Exposición magistral de los temas.
Análisis y discusión de lecturas.
Presentación de videos.
Dinámicas y ejercicios grupales.
Exposiciones de los alumnos, y discusiones en plenarias.
Estudio de casos

RECURSOS NECESARIOS

Bibliografía especializada
Documentos, artículos y revistas actualizadas Internet
Equipos audiovisuales
Banco de casos empresariales

CONTENIDO DEL PROGRAMA

OBJETIVO GENERAL DE LA MATERIA.

Proporcionar al alumno las herramientas matemáticas para el análisis del comportamiento de una función de una variable independiente, utilizando el cálculo diferencial.

OBJETIVOS ESPECIFICOS DE APRENDIZAJE POR TEMA.

Unidad I

DESIGUALDADES
1 Desigualdades.
1.1 Solución de desigualdades lineales y cuadráticas.
1.2 Solución de desigualdades con valor absoluto.
1.3 Representar las soluciones de las desigualdades, como conjunto de números, en intervalos y gráficamente.
Unidad II

ANALISIS NUMERICO, ALGEBRAICO Y GEOMETRICO DE LAS FUNCIONES Y SUS
PROPIEDADES

1 Función, dominio e imagen y representación de situaciones cotidianas que den lugar a una función.
1.1 Definir función.
1.2 Definir en forma intuitiva el dominio de una función.
1.3 Dada una situación gráficamente o en tabla, reconocerla como una función.
1.4 Representar una situación dada gráficamente, por medio de una fórmula.
1.5 Indicar cuando una variable es directamente o inversamente proporcional a otra variable.
2. Función lineal.
2.1 Definir función lineal.
2.2 Dada la ecuación de la forma y= mx + b indicar lo que representa gráficamente. También indicar que representan los valores de m y b de la ecuación.
2.3 Obtener la pendiente de una recta enfatizándola como una razón entre la variable dependiente e independiente.
2.4 Dado un conjunto de ecuaciones de rectas identificar su gráfica.
2.5 Obtener la ecuación de una recta.
2.6 Analizar el comportamiento creciente y decreciente gráficamente o a partir de valuaciones numéricas.
2.7 Modelar situaciones reales, que den lugar a una función lineal.
3. Funciones de potencias.
3.1 Definir función potencia ( ).
3.2 Graficar funciones potencia cuyo exponente es entero par o impar.
3.3 Comparar las gráficas de funciones potencia cuyo exponente es par o impar para diferentes intervalos de valores de la variable independiente.
3.4 Graficar funciones potencias cuyo exponente es entero negativo.
3.5 Graficar funciones potencias cuyo exponente es una fracción positiva.
3.6 Analizar que efectos puede tener una función potencia si se multiplica por una constante.
3.7 Analizar el comportamiento de las funciones potencia cuando x crece infinitamente o decrece infinitamente. En este análisis introducir la notación x-> + _ o x -> -_ enfatizando el concepto de creciente y decreciente y concavidades.
3.8 Modelar situaciones que den lugar a una función potencia.
3.9 Utilizar una calculadora con graficadora o computadora para graficar las funciones de potencia.
4. Funciones polinomiales y racionales.
4.1 Definir función polinomial y analizar su gráfica.
4.2 Definir función racional y analizar su gráfica.
4.3 Definir y obtener las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de una función racional.
5. Función exponencial.
5.1 Definir función exponencial.
5.2 Dada la gráfica de una función reconocer si ésta es exponencial.
5.3 Dada una tabla de datos reconocer si éstos pertenecen a una función exponencial o lineal.
5.4 Analizar el comportamiento de cóncava (cóncava hacia arriba) y convexa (cóncava hacia abajo) gráficamente a partir de evaluaciones numéricas.
5.5 Reconocer las propiedades de los exponentes.
5.6 Modelar situaciones de crecimiento exponencial o decaimiento exponencial.
6. Función inversa.
6.1 Definir función inversa.
6.2 Interpretar en términos prácticos la inversa de una función.
6.3 Obtener la función inversa de una función dada e indicar cuándo ésta no tiene inversa.
6.4 Obtener dominio e imagen de una función inversa.
6.5 Comparar la gráfica de una función con su inversa y analizar su gráfica, en un mismo sistema de coordenadas.
6.6 Modelar situaciones que den lugar a una función y su inversa.
7. Función logaritmo y logaritmo natural.
7.1 Definir el logaritmo de un número en base 10 y sus propiedades.
7.2 Resolver ecuaciones con potencias donde se utilicen logaritmos. (En éstas ecuaciones utilizar los problemas de crecimiento y decaimiento exponencial aplicados a las Ciencias Sociales).
7.3 Analizar la gráfica de la función logaritmo en base 10 de x.
7.4 Definir el logaritmo natural de x y sus propiedades.
7.5 Analizar la gráfica de la función logaritmo natural.
7.6 Establecer la relación entre y .
7.7 Expresar las funciones de crecimiento exponencial y decaimiento exponencial usando una función exponencial de base e.
7.8 Modelar situaciones que den lugar a funciones exponenciales en base e.
7.9 Definir el interés compuesto de una cantidad por año, cada seis meses cada trimestre etc. o "n" veces al año.
7.10 Definir el interés compuesto continuamente.
7.11 Establecer la ecuación para obtener el capital (C) que se obtendrá al final de t años, si se tiene un capital Co a una razón de r % de interés compuesto capitalizable "n" veces por año.
7.12 Establecer la ecuación para obtener el capital (C) que se obtendrá al final de t años, si se tiene un capital Co a una razón compuesta capitalizable continuamente a una razón r anual.
7.13 Demostrar que
8. Operaciones con funciones.
8.1 Analizar los cambios que tiene la gráfica de f ( x ), cuando f(x) se cambia a:
a) a f ( x),
b) f ( x + a ) y c) f ( x ) + a
8.2 Obtener la suma, diferencia, producto y cociente entre funciones.
8.3 Definir la función compuesta de dos funciones.
8.4 Definir función par e impar.
8.5 Dadas dos funciones ya sea en forma numérica, gráfica o por fórmula efectuar operaciones.
9. Funciones trigonométricas.
9.1 Definir y graficar las funciones trigonométricas seno, coseno.
9.2 Modelar situaciones que den lugar a funciones seno o coseno.

Unidad III

LA DERIVADA
1. Presentación de la derivada como razón de cambio a través de la forma numérica y geométrica.
1.1 Definir la razón promedio de cambio de una función en un intervalo.
1.2 Definir la derivada en un punto como la razón instantánea de cambio e interpretarla gráficamente, (utilizar e interpretar la notación ).
1.3 Dada la función en una tabla de valores o por medio de una fórmula, obtener la derivada de una función en un punto.
2. Derivada de una función y su interpretación práctica.
2.1 Defnir la función derivada.
2.2 Obtener la derivada de una función utilizando la definición, dada una tabla de valores o por medio de una fórmula.
2.3 Utilizando la derivada, indicar cuando una función es creciente o decreciente.
2.4 Dada la gráfica de una función obtener la gráfica de la función derivada y viceversa.
2.5 Interpretación de la derivada en situaciones prácticas e indicar las unidades de la derivada.
2.6 Definir la segunda derivada de una función e interpretarla geométricamente.
2.7 Utilizar la segunda derivada para indicar cuando una función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.
2.8 Establecer el teorema de diferenciabilidad y continuidad y ejemplificarlo.
3. Teoremas sobre derivadas.
3.1 Enunciar y aplicar los teoremas sobre derivadas de:
a) La función constante.
b) La función xn, en donde n es un número racional en general.
c) Una constante por una función .
d) Suma de funciones.
e) Producto y cociente de funciones.
f) Las funciones trigonométricas sen x y cos x.
g) Funciones exponenciales y logarítmicas.
3.2 Resolver problemas aplicados a las ciencias sociales.
3.3 Obtener las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva en un punto.
3.4 Enunciar y aplicar el teorema de la regla de la cadena.
3.5 Obtener derivadas de orden superior.
3.6 Definir función implícita.
3.7 Obtener la derivada de funciones implícitas.

Unidad IV

OPTIMIZACION DE FUNCIONES
1. Definir los siguientes conceptos:
a) Valores máximo y mínimo locales de una función.
b) Valores máximo y mínimo global de una función.
c) Punto crítico de una función.
1.2 Enunciar y aplicar el teorema que establece que todo número donde ocurre un extremo relativo de una función es un número crítico.
1.3 Enunciar y aplicar el teorema referente a la existencia de valores extremos absolutos de funciones continuas en intervalos cerrados.
2. Establecer y aplicar el criterio de la primera derivada para determinar los extremos relativos de una función.
3. Concavidades y criterio de la segunda derivada.
3.1 Utilizar la segunda derivada determinar los intervalos en donde una función es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
3.2 Definir punto de inflexión de una función.
3.3 Utilizar la segunda derivada en la determinación de los puntos de inflexión de una función.
3.4 Enunciar y aplicar el criterio de la segunda derivada para determinar los extremos relativos de tangencia horizontal de una función.
4. Resolver problemas de optimización de funciones, aplicadas a las ciencias sociales.

METODOLOGIA SUGERIDA Y ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.

En este curso, se puede emplear cualquiera de las metodologías existentes, como la expositiva o la de instrucción personalizada, tratando de enfatizar en las siguientes herramientas metodológicas:

1. Motivar la presentación de un concepto, viéndolo como herramienta para el análisis de un fenómeno en otras áreas del conocimiento.
2. Utilizar cuando sea posible argumentos que puedan ser visuales, algebraicos o numéricos que ayuden a clarificar un concepto o resultado.
3. Promover el trabajo individual o de grupo en el salón de clase, proponiendo la discusión de algún problema o resultado.
4. Proponer trabajos extraclase, ya sea individual o en equipos. Estos trabajo pueden ser resolver ejercicios, proyectos de investigación, o bien asignar algún material de autoestudio.
5. Introducir el uso de la tecnología (filminas, paquetes computacionales, calculadora gráfica, etc.), tanto en el salón de clase como fuera de él.

ACTIVIDADES.

El procedimiento recomendado a los alumnos, para lograr el aprendizaje del material de este curso consiste en:

1. Atender las explicaciones del maestro en el salón de clase y estudiar los temas recomendados por él.
2. Realizar satisfactoriamente las tareas y trabajos individuales y de equipo asignados por el maestro.
3. Revisar periódicamente el material visto en clase y compararlo con la presentación que del mismo se hace en los libros señalados en el texto y bibliografía.
4. Asistir regularmente a asesoría con el maestro, para despejar dudas y reafirmar conceptos.


BIBLIOGRAFIA BASICA

ALLEN, R.G..D. Análisis matemático para economistas. 8a edición. Ed. Aguilar. Madrid, 1974.

CHIANG, Alpha. Métodos fundamentales de economía matemática. Amorrourtu editores, Buenos Aires, 1967.

DEBRAU, Gerard. Teoría del valor. Bosch casa editorial. Barcelona, 1959.

HILDEBRAND, w. Y KIRMAN, A.P. Equilibrium Analysis. North Heland. Amsterdam, 1968.

KOOPSMANS, Tyalling. Tres ensayos sobre el estado de la ciencia económica. Bosch Casa Editorial. Barcelona, 1980.

NICAIDO H. Métodos matemáticos del análisis económico moderno. Editorial Vicens Vives. Barcelona, 1978.

PEREZ, Hernando y GOMEZ, Jairo. Matemática I. Universidad Nacional. Bogotá 1990.